研究报告：永续时间转换期权的定价方式

作者：DeFi研究员 Vincent Lu

1995年，Pechtl提出离散时间转换认购期权，如果在Δt内，资产价格超过了行权价X，则投资者可以在期权到期的时候获得这段时间的收益为AΔt（A为某个常数），同理，在离散时间认沽期权中，在某个Δt内，资产价格低于了行权价X，则投资者可以在期权到期的时候获得这段时间的收益为也为AΔt。

Pechtl根据理论和BS模型，他计算出这种认购期权的定价可以用如下算式来表达：

认沽期权的定价可以用如下算式来表达：

其中S为现价，X为行权价，波动率为σ

在这两个算式中，n = T/Δt，如果期权合约已经生效了一段时间，则需要在期权定价公式中增加一项：ΔtA·exp(-rT)·m，其中m是已经满足时间转换条件的时间单位数量（例如，认购期权已经生效了20天，其中10天价格超过了行权价格）

我们对Pechtl的理论做一点小改动，如果某投资者能在认购期权价格超过行权价格的时候就获得收益，并且收益的计算方式为（当前价格-行权价格）*Δt，例如，Alice从Bob那里买了一个行权价格为110美元的认购期权，到期时间是1年。在这年里，价格在11月份突破了行权价，到达了120～130美元，而到了十二月份，价格下跌，跌破了90美元，虽然到期时间来临时，期权价格仍然低于110美元，但是Alice仍然可以在11月获得期权高于行权价的那部分收入。

考虑到在Pechtl模型中，收益为到期日后才获得，所以在估算价格中，会有折现因子exp(-rT)，其中r为无风险利率。那如果当时就行权，在第i个周期内，获得概率的可能性应为：

我们的认购期权模型中，另一个改动是超过行权价，投资者获得的收益为（当前价格-行权价格）??Δt，而不是像Pechtl模型中的固定常数A，在这种情况下，我们必须修订Pechtl的公式，应该用每个（当时价格-行权价格）??（这个价格出现的概率）并累加。在数学上就是积分的形式（因为Z表示概率累积，因此某个价格出现的概率应为Z关于价格的一阶导数）：

模型中的另外一个改动就是：购买认购期权的投资者是立即获得收益，而不是等到到期日之后才会获得，因此需要把每天的收益折现到当前。考虑到无风险利率是r，那么每天的收益即为r/365，第i天的现值（PV）应该为：

把所有的Ci累加，就得到了这种期权的定价方式：

我们用Python模拟了这种认购期权的定价方式：假设现价为100美元，无风险利率为6%，波动率为26%，我们研究这种认购期权价格C和到期天数n之间的关系。

这种情况很符合日常感觉，如果到期天数长，风险增加，价格超过行权价的可能性也增加了。因此认购期权就贵了，但是增长幅度变慢了，如果到期天数无限大，价格应该会收敛到一个定值。

永续时间转换期权的定价方式（以认购期权为例）

在上式中令n趋近于无穷大，我们可以得到这种期权的定价模型为：

原文链接：https://medium.com/@Vincent.R.Jaipul/perpetual-timer-option-pricing-8bd9f4139e79

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编译者/作者：要闻速递

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